题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
是边长等于2的等边三角形，四边形
是菱形，
，
，
是棱
上的点，
.
，
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明
平面
；
（2）先证明
、
、
两两垂直，然后以
为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量和直线
的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.
（1）取
中点
，连结
，
，因为
，
是
的中点，所以
，
，又，不在平面
内，
在平面内，所以
平面，
平面，又交于点；所以平面
平面，∴平面.
（2）∵
，
，故
.
又
，
，，从而
.
从
，
可得
平面
平面
平面
，，
平面
以、、为
、
、
轴建系得
，
，
，
，
, 则
，
,
,
设平面的法向量为
，则
，即
，令
，
则
，记直线与平面所成角为
，所以有
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
练习册系列答案
相关题目
