Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与双曲线x²-y²=1有共同的焦点F₁、F₂，设它们在第一象限的交点为P，且PF₁⊥PF₂
（1）求椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1），对于（1）中的椭圆，是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与椭圆交于不同的两点A、B，点Q满足

AQ

=

QB

，且

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）焦点F₁、F₂的坐标分别为（-

2

，0）、（

2

，0），由双曲线和椭圆的定义，解得

|PF1| =a+1 |PF2| =a-1

．由PF₁⊥PF₂，知(a-1)2+(a+1)2=(2

2

)2，解得a²=3．由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t，由方程组

x2+3y2=3 y=kx+t

，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，由直线l与椭圆交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知t²＜1+3k²，x1+x2=-

6kt

1+3k2

，由

AQ

=

QB

和

NQ

•

AB

=0，能求出直线l在y轴上的截距t的取值范围．

解答：解：（1）焦点F₁、F₂的坐标分别为（-

2

，0）、（

2

，0），
由双曲线和椭圆的定义，得

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2| =2a

，
解得

|PF1| =a+1 |PF2| =a-1

．（2分）
∵PF₁⊥PF₂，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 ，
即(a-1)2+(a+1)2=(2

2

)2，解得a²=3．（4分）
从而b2=a2-(

2

)2=1，
故椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+t，
由方程组

x2+3y2=3 y=kx+t

，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
直线l与椭圆交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①（8分）
则x1+x2=-

6kt

1+3k2

，
由

AQ

=

QB

，得Q为线段AB的中点，
则x_Q=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y_Q=kx_Q+t=

t

1+3k2

，
∵

NQ

•

AB

=0，k_NQ•k_AB=-1，N（0，-1），
即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1  化简得1+3k²=2t，（10分）
代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2，（11分）
又由2t-1+3k²＞1，得t＞

1

2

，
所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是（

1

2

，2）．（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线的知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线、椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．