题目内容
【题目】如图,是半圆
的直径,
是半圆
上除点
外的一个动点,
垂直于
所在的平面,垂足为
,
,且
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)当为半圆弧的中点时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先证明平面
,再证明
后即可得
平面
,即可得证;
(2)建立空间坐标系后分别求出平面的一个法向量
和平面
的一个法向量
,求出
后即可得解.
(1)证明:因为是半圆
的直径,所
.
因为垂直于
所在的平面,
,
所以,所以
平面
.
因为,且
,
所以四边形为平行四边形.
所以,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)由题意,,
、
、
两两互相垂直,建立如图所示空间直角坐标系.
则,
,
,
,所以
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则即
令,则
.
设平面的一个法向量为
,
则即
则,
则.
因为二面角是钝角,所以二面角
的余弦值为
.

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