Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的相邻两条对称轴的距离是$\frac{π}{2}$，当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-$\frac{6}{5}$的零点为x₀，求$cos（{\frac{π}{3}-2{x_0}}）$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出函数的振幅，周期和初相，可得函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-$\frac{6}{5}$的零点为x₀，$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，利用诱导公式，可得答案．

解答 解：（1）由题意知，振幅A=2，
周期T=$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）．
将点$（{\frac{π}{6}，2}）$代入得：$2sin（{\frac{π}{3}+φ}）=2⇒sin（{\frac{π}{3}+φ}）=1$，又$|φ|＜\frac{π}{2}$，
故$φ=\frac{π}{6}$．
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由函数$g（x）=f（x）-\frac{6}{5}$的零点为x₀知：x₀是方程$f（x）=\frac{6}{5}$的根，故$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，
得sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，又（2x₀+$\frac{π}{6}$）+（$\frac{π}{3}$-2x₀）=$\frac{π}{2}$，
∴$cos（{\frac{π}{3}-2{x_0}}）=cos[{\frac{π}{2}-（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）}]=sin（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．