Question

20．用向量的方法证明三角形内角平分线的性质．

Answer 1

分析 作△ABC，AD是∠BAC的平分线，从而来证$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，AD为角平分线，从而有$\overrightarrow{AD}=\frac{λ}{|\overrightarrow{AB|}}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}\overrightarrow{AC}$，而由B，D，C三点共线便可得到$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$，从而可以得到$\overrightarrow{AD}=（1-μ）\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，从而根据平面向量基本定理便可得出$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{μ}{1-μ}$，而根据$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$又可以求得$\frac{μ}{1-μ}=\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，从而角平分线的性质得证．

解答 证明：如图，已知△ABC角平分线为AD，下面来用向量证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；
∵AD为角平分线；
∴存在λ，使$\overrightarrow{AD}=λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$=$\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}\overrightarrow{AC}$①；
B，D，C三点共线；
∴存在μ，使$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=μ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-μ）\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$②；
∴由①②根据平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}=1-μ}\\{\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}=μ}\end{array}\right.$；
∴$\frac{\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}}{\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{μ}{1-μ}$；
$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{DC}=（1-μ）\overrightarrow{BC}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{DC}|}=\frac{μ}{1-μ}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{DC}|}$；
即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及平面向量基本定理，要清楚角平分线的性质．