Question

13．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2sinA-sinC}{sinB}$．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a+c=4，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据正弦定理用正弦表示出边，然后代入到已知条件中，再由两角和与差的公式整理可得到cosB的值，最后可得角B的值．
（2）根据余弦定理将b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入求出ac的值，再由三角形的面积公式可求得结果．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，
∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∴2cosB=1
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°；
（2）∵b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
∴将b=$\sqrt{7}$，a+c=4，代入整理得ac=3
故三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，在求值时经常用到边和角的相互转化，这里一般是用正弦定理．