题目内容
【题目】已知棱长为1的正方体中,下列数学命题不正确的是( )
A.平面平面
,且两平面的距离为
B.点在线段
上运动,则四面体
的体积不变
C.与所有12条棱都相切的球的体积为
D.是正方体的内切球的球面上任意一点,
是
外接圆的圆周上任意一点,则
的最小值是
【答案】D
【解析】
根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明,即可判断选项;
研究四面体的底面面积和高的变化判断选项;
与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线的长度,求出球半径进行计算,即可判断选项
;
根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项.
对于选项,
平面
平面
,
平面
,同理可证
平面
,
平面
,
平面
平面
,
正方体的对角线,设
到平面
的距离为
,
则,
,则平面
与平面
的距离为
,
故正确;
对于选项,点
在线段
上运动,点
到底面
的距离不变,
底面积不变,则体积不变,故正确;
对于选项,与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线
,
则球的半径为,球的体积为
,故
正确;
对于选项,设正方体的内切球的球心和外接球的球心为
,
则的外接圆是正方体外接球的一个小圆,
是正方体的内切球的球面上任意一点,
是
外接圆的圆周上任意一点,
线段
的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径,
正方体
棱长为1,
线段
的最小值为
,故
错误.
故选:D.

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