Question

17．设实数集S是满足以下两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．
（1）求证：若a∈S，则1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）求证：集合S中至少有三个不同的元素．

Answer 1

分析 （1）根据a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S，进一步可得$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}$∈S；
 （2）由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S，再说明三个数不相等即可．

解答 证明：（1）∵a∈S，a≠0，
∴$\frac{1}{1-a}$∈S，则$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}$∈S；
（2）由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S．
若a=$\frac{1}{1-a}$，则a²-a+1=0，无解，
故a≠$\frac{1}{1-a}$；
同理可证明：a≠1-$\frac{1}{a}$，1-$\frac{1}{a}$≠$\frac{1}{1-a}$．
故集合S中至少有三个不同的元素．

点评 本题考查了元素与集合的关系，是基础题．