题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为-1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，且直线x-3y+4=0与向量 $数学公式$ 的平行．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设M为椭圆上任意一点，点N（λ，μ），且满足 $数学公式$ ，求N的轨迹方程．

解：（I）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），F（c，0）
则直线AB的方程为y=-x+c，代入 $\text{[math]}$ ，
化简得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₁+x2，y₁+y₂），且直线x-3y+4=0的方向向量 $\text{[math]}$ =（3，1）， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，
∴3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，又y₁=-x₁+c，y₂=-x₂+c，
∴3（-x₁-x₂+2c）-（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ c．
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ c，
所以a²=3b²．
∴c= $\text{[math]}$ ，
故离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（II）由（I）知a²=3b²，
所以椭圆可化为x²+3y²=3b²，F（c，0），
设M（x，y），
由已知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵M（x，y）在椭圆上，即（λ-μ）²（x₁²+3y₁²）+2（λ²-μ²）（x₁x₂+3y₁y₂）+（λ+μ）²（x₂²+3y₂²）=3b²．①
由（I）知a²= $\text{[math]}$ c²，b²= $\text{[math]}$ c²．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ c²
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（-x₁+c）（-x₂+c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²= $\text{[math]}$ c²- $\text{[math]}$ c²+3c²=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²= $\text{[math]}$ ．
故N的轨迹方程为λ²+μ²= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）用向量运算将λ，μ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ²+μ²的值，即得N的轨迹方程．
点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．是高考常见题型且是解答题．