Question

8．下列结论：①函数y=$\sqrt{{x}^{2}}$和y=（$\sqrt{x}$）²是同一函数；②函数f（x-1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x²）的定义域为[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]；③函数y=log₂（x²+2x-3）的递增区间为（-1，+∞）；其中正确的个数0．

Answer 1

分析 ①根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数；
②根据函数f（x-1）的定义域求出f（x）的定义域，再求函数f（3x²）的定义域即可；
③根据复合函数的单调性，判断函数y=log₂（x²+2x-3）的单调区间即可．

解答 解：对于①，函数y=$\sqrt{{x}^{2}}$=|x|（x∈R），和y=（$\sqrt{x}$）²=x（x≥0）的定义域不同，
对应关系也不同，∴不是同一函数，命题①错误；
对于②，函数f（x-1）的定义域为[1，2]，
即x∈[1，2]，∴x-1∈[0，1]，
∴f（x）的定义域是[0，1]；
令0≤3x²≤1，即0≤x²≤$\frac{1}{3}$，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函数f（3x²）的定义域为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，命题②错误；
对于③，∵x²+2x-3＞0，即（x+3）（x-1）＞0，
解得x＜-3或x＞1，
∴函数y=log₂（x²+2x-3）的递增区间是（1，+∞），命题③错误；
综上，正确的命题个数为0．
故答案为：0．

点评 不同考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，也考查了求函数的定义域以及判断复合函数的单调性问题，是综合性题目．