题目内容
【题目】已知点是抛物线
的焦点,
是其准线
上任意一点,过点
作直线
,
与抛物线
相切,
,
为切点,
,
与
轴分别交于
,
两点.
(1)求焦点的坐标,并证明直线
过点
;
(2)求四边形面积的最小值.
【答案】(1),证明见解析;(2)3
【解析】
(1)由点斜式设出直线的直线方程,再由
在
上,得出直线
的方程,从而证明直线
过点
;
(2)将直线的方程与抛物线方程联立,结合韦达定理,抛物线的性质,点到直线的距离公式得出
,
,再由四边形
的面积
,结合导数得出四边形
面积的最小值.
(1)由题意可知
设,则
即
同理.
又在
上,则
,所以
所以直线过焦点F.
(2)由(1)知,代入
得
则
则
到AB的距离
,所以
由(1)知,则
所以,令
则四边形的面积
设,
当时,
即函数在
上是增函数
则四边形面积的最小值为3
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