题目内容
【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．
【答案】
（1）证明：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，
AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点，
∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
∴ 
=（0，1，1）， 
=（1，0，﹣2）， 
=（﹣1，﹣2，0），
设平面SCD的一个法向量为 
=（x，y，z），
则 
，令z=1，得 =（2，﹣1，1），
∵ 
=0，∴ 
，
∵AM平面SCD，∴AM∥平面SCD
（2）解：由题意平面SAB的一个法向量 
=（1，0，0），
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0 
，
则cosα= 
= 
= 
，
∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为
（3）解：设N（x，2x﹣2，0），则 
=（x，2x﹣3，﹣1），
∵平面SAB的一个法向量 =（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ
∴sinθ=|cos＜ 
＞|= 
=| 
|
= 
= 
．
当 
，即x= 
时，sinθ取得最大值（sinθ）max= 
．
【解析】（1）通过建立直角坐标系利用平面SCD的法向量，向量数量积等于零即可证明平行关系。（2）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，根据法向量的夹角即可求出。（3）根据线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．
