题目内容
【题目】已知F1(﹣1,0),F2(1,0)分别是椭圆C: =1(a>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若A,B分别在直线x=﹣2和x=2上,且AF1⊥BF1 .
(ⅰ)当△ABF1为等腰三角形时,求△ABF1的面积;
(ⅱ)求点F1 , F2到直线AB距离之和的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得,c=1,则a2﹣b2=c2,即a2﹣3=1,
则a2=4,
∴椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)(ⅰ)由题意可设A(﹣2,m),B(2,n),
由AF1⊥BF1,则 ,即(1,﹣m)(﹣3,﹣n)=0,则mn=3,①
由AF1⊥BF1,则当△ABF1为等腰三角形时,只能是|AF1|=|BF1|,即 ,
化简得m2﹣n2=8,②
由①②可得 或 ,
∴ .
(ⅱ)直线 ,
化简得(n﹣m)x﹣4y+2(m+n)=0,
由点到直线的距离公式可得点F1,F2到直线AB距离之和为
∵点F1,F2在直线AB的同一侧,
∴
由mn=3,
则m2+n2≥2mn=6,
∴
当 或 时,点F1,F2到直线AB距离之和取得最小值 .
∴点F1,F2到直线AB距离之和取得最小值
【解析】(Ⅰ)由题意可知a2﹣3=1,即可求得a的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)(ⅰ)根据向量数量积的坐标运算,即可求得mn=3,由|AF1|=|BF1|,求得m2﹣n2=8,即可求得m和n的值,求得三角形的面积;(ⅱ)直线 ,利用点到直线的距离公式,由点F1,F2在直线AB的同一侧,利用基本不等式的性质,即可求得点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.
练习册系列答案
相关题目