Question

【题目】已知圆周上有七个不同的点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，作出所有的向量（对于点、，若作出向量，则不再作向量）.若其中某四点所确定的凸四边形的四条边是首尾相接的四个向量，则称其为“零四边形”.试求以这七个点中四个点为顶点的凸四边形中，零四边形个数的最大值

Answer 1

【答案】28

【解析】

设圆周上这七个点分别为，，…，.以点为始点的向量个数为，则，且.

先求在个凸四边形中“非零四边形”个数的最小值．

易知非零四边形只有如下两类情形：

第一类：有且只有一个顶点是两边向量的始点的非零四边形（如图）.

第二类：恰有两个顶点是两边向量的始边的非零四边形（如图）.

（1）当整个图形中含有第二类非零四边形时，易知在第二类非零四边形的四个顶点的基础上，每增加一个点，则此五点形就比原四点形增加四个凸四边形，且作图易知这四个凸四边形均是非零四边形.

于是，在整个七点图形中的35个凸四边形中，若有一个是第二类非零四边形，则在此非零四边形的基础上增加三点，至少要增加12个非零四边形.由此知，此时图中至少有13个非零四边形.

（2）当七点图中不含第二类非零四边形，即其中只含有第一类非零四边形和零四边形，则问题可转化为只要求出其中第一类非零四边形个数的最小值即可.

而第一类非零四边形的四个顶点中有且只有一个顶点是此非零四边形的四个边向量的两个向量的始点，且这两个向量夹有一个对角线向量.当这三个向量确定时，则确定一个非零四边形.从而，当图中不含第二类非零四边形时，图中含第一类非零四边形的个数

.

因为，所以，有最小值.

若，，…，中有某个的值小于3，则其中必有的值大于或等于4.

而，，，又，则必有.

若，，…，均不小于3，由知，只有，.

下面通过作图说明的图形是存在的（如图）

图中共有七个非零四边形.

①，②，

③；④，

⑤，⑥，

⑦.

故的最小值为.

因此，所求的零四边形个数的最大值为.