已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2$\sqrt{6}$.过点F的直线l与C1相交于A.B两点.与C2相交于C.D两点.且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向．(Ⅰ)求C2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，C₁与C₂的公共弦的长为2$\sqrt{6}$，过点F的直线l与C₁相交于A，B两点，与C₂相交于C，D两点，且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

分析（Ⅰ）通过C₁方程可知a²-b²=1，通过C₁与C₂的公共弦的长为2$\sqrt{6}$且C₁与C₂的图象都关于y轴对称可得$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}=1$，计算即得结论；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），通过$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．

解答解：（Ⅰ）由C₁方程可知F（0，1），
∵F也是椭圆C₂的一个焦点，∴a²-b²=1，
又∵C₁与C₂的公共弦的长为2$\sqrt{6}$，C₁与C₂的图象都关于y轴对称，
∴易得C₁与C₂的公共点的坐标为（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}=1$，
又∵a²-b²=1，
∴a²=9，b²=8，
∴C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向，且|AC|=|BD|，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，∴x₁-x₂=x₃-x₄，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，

设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-4kx-4=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（9+8k²）x²+16kx-64=0，
由韦达定理可得x₃+x₄=-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，
又∵（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，
∴16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}{k}^{2}}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4×64}{9+8{k}^{2}}$，
化简得16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}×9（{k}^{2}+1）}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$，
∴（9+8k²）²=16×9，解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即直线l的斜率为±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案

	A．	若a₁+a₂＞0，则a₂+a₃＞0		B．	若a₁+a₃＜0，则a₁+a₂＜0
	C．	若0＜a₁＜a₂，则a₂$＞\sqrt{{a}_{1}{a}_{3}}$		D．	若a₁＜0，则（a₂-a₁）（a₂-a₃）＞0

加油时间	加油量（升）	加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日	12	35000
2015年5月15日	48	35600

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