Question

（2012•济南三模）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA1=

2

a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点．
（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为

π

3

．

Answer 1

分析：（1）由已知中侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性质定理可得AB⊥面ACC₁A₁，进而AB⊥CD，由AC=A₁C，D为AA₁中点，根据等腰三角形“三线合一”可得CD⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB₁A₁；
（2）建立空间直角坐标系C-xyz，由

BE

=λ

BB1

，可得E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．求出面A₁C₁A地一个法向量和平面EA₁C₁地一个法向量，根据二面角E-A₁C₁-A的大小为

π

3

，构造方程组，解出λ值后，可得E点的位置．

解答：证明：（1）∵AB⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D为AA₁中点，则CD⊥AA₁∴CD⊥面ABB₁A₁…（4分）
解：（2）如图所示建立空间直角坐标系C-xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a）C₁（-a，0，a），设E（x，y，z），且

BE

=λ

BB1

，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）
由条件易得面A₁C₁A地一个法向量为

n1

=(0，1，0)，设平面EA₁C₁地一个法向量为

n2

=(x，y，z)，由

n 2⊥A1 C 1 n ⊥ A1E

可得

-ax=0 (1-λ)ax+ay+(λ-1)az=0

令y=1，则有

n

2=(0，1，

1

1-λ

)，…（10分）
则cos

π

3

=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

1+ 1 (1-λ)2

=

1

2

，得λ=1-

3

3

所以，当

| BE |

| BB1 |

=1-

3

3

时，二面角E-A₁C₁-A的大小为

π

3

…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理，（2）的关键是设出E点坐标，求出面A₁C₁A地一个法向量和平面EA₁C₁地一个法向量，并根据二面角E-A₁C₁-A的大小为

π

3

，构造方程．