题目内容

(2012•济南三模)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1≤t≤30,t∈N﹢)的旅游人数f(t) (万人)近似地满足f(t)=4+
1t
,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.
(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式;
(2)求该城市旅游日收益的最小值.
分析:(1)根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w(t)与t的解析式;
(2)因为w(t)中有一个绝对值,讨论t的取值,化简得W(t)为分段函数,第一段运用基本不等式求出最值,第二段是一个递减的函数求出最值比较即可.
解答:解:(1)由题意,根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数可得W(t)=f(t)g(t)=(4+
1
t
)(120-|t-20|)=
401+4t+
100
t
(1≤t≤20)
559+
140
t
-4t(20<t≤30)

(2)当t∈[1,20]时,401+4t+
100
t
≥401+2
4t×
100
t
=441(t=5时取最小值)
当t∈(20,30]时,因为W(t)=559+
140
t
-4t
递减,所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=443
2
3

∵443
2
3
>441
∴t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.
点评:本题考查学生根据实际情况选择函数类型的能力,以及基本不等式在求函数最值中的应用能力,属于中档题.
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