题目内容
【题目】选修:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为 .
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.
【答案】(1)(x﹣2)2+4y2=4, (2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)曲线的极坐标方程化为
,利用
能求出曲线
直角坐标方程;由直线
过点
,倾斜角为
,能求出直线
的参数方程;(Ⅱ)由曲线
经过伸缩变换
,后得到曲线
,求出曲线
为:
,把直线
的参数方程代入直线
,得
,设
对应的参数分别为
,则
,由此能求出
.
试题解析:(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0,整理,得(x﹣2)2+4y2=4,
∵直线l过点M(1,0),倾斜角为,
∴直线l的参数方程为,即
,(t是参数).
(Ⅱ)∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′,
∴曲线C′为:(x﹣2)2+y2=4,
把直线l的参数方程,(t是参数)代入曲线C′:(x﹣2)2+y2=4,
得:,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=﹣3,
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==
=
.
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