题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)把曲线向下平移
个单位,然后各点横坐标变为原来的
倍得到曲线
(纵坐标不变),设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)在直线的参数方程中消去参数
可得出直线
的普通方程,在曲线
的极坐标方程两边同时乘以
得
,进而可化简得出曲线
的直角坐标方程;
(2)根据变换得出的普通方程为
,可设点
的坐标为
,利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.
(1)由(
为参数),得
,化简得
,
故直线的普通方程为
.
由,得
,又
,
,
.
所以的直角坐标方程为
;
(2)由(1)得曲线的直角坐标方程为
,向下平移
个单位得到
,
纵坐标不变,横坐标变为原来的倍得到曲线
的方程为
,
所以曲线的参数方程为
(
为参数).
故点到直线
的距离为
,
当时,
最小为
.
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