题目内容
【题目】以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)点在曲线
上,且曲线
在点
处的切线与直线:
垂直,求点
的直角坐标;
(2)设直线与曲线
有且只有一个公共点,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)点的坐标为
;(2)
.
【解析】
(1)求出曲线的普通方程,根据题意求出直线
的方程,再将直线
的方程与曲线
的方程联立,即可求得点
的坐标;
(2)设直线的方程为
(其中
为直线
的斜率),求出直线
与半圆
相切时直线
的斜率
的值,设点
,
,
,求出直线
、
的斜率,利用数形结合思想可求得直线
的斜率的取值范围.
(1)由,所以,曲线
的直角坐标方程为:
,
点
在曲线
上,且曲线
在点
处的切线与直线:
垂直,
直线
与直线:
平行,
直线
的斜率
,即
的方程为
,
由,得:
.
即点的坐标为
;
(2)将直线化为普通方程:
(
为直线
的斜率),
当直线与半圆
相切时,则有
.
,
或
,
设点,
,
,则
,
.
由图象知,当直线与半圆
相切时,则
,此时
.
因此,当直线与半圆
有且只有一个公共点时,直线
的斜率的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(Ⅰ)请将右面的列联表补充完整;
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
(Ⅱ)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(Ⅲ)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求
的分布列以及数学期望.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式 其中
)
【题目】金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;
(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出
的分布列,并求
.
附:,其中
.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某汽车品牌为了解客户对其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
汽车型号 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
回访客户(人数) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
满意率 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
满意率是指某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立,且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人,求这个客户满意的概率;
(2)从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人,设其中满意的人数为,求
的分布列和期望.