题目内容
【题目】若数列满足条件:存在正整数,使得对一切,都成立,则称数列为级等比数列;
(1)已知数列为2级等比数列,且前四项分别为、、、,求的值;
(2)若(为常数),且数列是3级等比数列,求所有可能的值,并求取最小正值时数列的前项和;
(3)证明:正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列,也为3级等比数列;
【答案】(1);(2), ;(3)证明详见解析.
【解析】
(1)利用定义,求出、,即可求的值;
(2)根据 是3级等比数列,列出方程,即可求所有可能值的集合,从而求取最小正值时数列的前项和;
(3)根据数列为级等比数列的定义,分充分性与必要性进行证明即可.
(1)解:由题意,
,
,
,
.
(2)解:是3级等比数列,
,
,
,
整理为: ,
即 ,,
,
的最小正值是,
此时, ,
,, ,
,
,
,
……..
(3)必要性:若为等比数列,则,
对一切成立,显然对成立.
既为2级等比数列,也为3级等比数列.
充分性:若为2级等比数列,,则,均成等比数列,
设等比数列,的公比分别为,
为3级等比数列,,则 成等比数列,设公比为
既是中的项,也是中的项,
,既是中的项,也是中的项,
,
,
设,则
,
,,
又, ,
, ,,
, ,
综合得:,显然为等比数列.
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