题目内容

7.如图,甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行,乙船在B处沿固定方向匀速航行,B在A北偏西105°方向用与B相距10$\sqrt{2}$ 海里处.当甲船航行20分钟到达C处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处,此时两船相距10海里.
(1)求乙船每小时航行多少海里?
(2)在C的北偏西30°方向且与C相距$\frac{8\sqrt{3}}{3}$海里处有一个暗礁E,周围$\sqrt{2}$海里范围内为航行危险区域.问:甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?若有危险,则从有危险开始,经过多少小时后能脱离危险?若无危险,请说明理由.

分析 (1)连接AD,CD,推断出△ACD是等边三角形,在△ABD中,利用余弦定理求得BD的值,进而求得乙船的速度.
(2)建立如图所示的坐标系,危险区域在以E为圆心,r=$\sqrt{2}$的圆内,求出E到直线BD的距离,与半径比较,即可得出结论.

解答 解:如图,连接AD,CD,由题意CD=10,AC=$\frac{20}{60}×30$=10,∠ACD=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴AD=10,
∵∠DAB=45°
△ABD中,BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2AB×AD×cos45°}$=10,
∴v=10×3=30海里.
答:乙船每小时航行30海里.
(2)建立如图所示的坐标系,危险区域在以E为圆心,r=$\sqrt{2}$的圆内,直线BD的方程为y=$\sqrt{3}$x,∠DAB=∠DBA=45°

E的坐标为(ABcos15°-CEsin30°,ABsin15°+CEcos30°+AC),
求得A(5$\sqrt{3}$+5,5$\sqrt{3}$-5),C(5$\sqrt{3}$+5,5$\sqrt{3}$+5),E(5+$\frac{11\sqrt{3}}{3}$,9+5$\sqrt{3}$),
E到直线BD的距离d1=$\frac{|5\sqrt{3}+11-9-5\sqrt{3}|}{2}$=1<$\sqrt{2}$,故乙船有危险;
点E到直线AC的距离d2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$>$\sqrt{2}$,故甲船没有危险.
以E为圆心,半径为$\sqrt{2}$的圆截直线BD所得的弦长分别为l=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}$=2,
乙船遭遇危险持续时间为t=$\frac{2}{30}$=$\frac{1}{15}$(小时),
答:甲船没有危险,乙船有危险,且在遭遇危险持续时间$\frac{1}{15}$小时后能脱离危险.

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用.要能综合运用余弦定理,正弦定理等基础知识,考查了综合分析问题和解决实际问题的能力.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网