题目内容

2.已知点A(-1,0),F(1,0),动点P满足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)直线l过F交曲线C于A、B两点,若线段AB的长为6,求l的方程.

分析 (1)利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|,建立方程,化简,即可求动点P的轨迹C的方程;
(2)直线l的方程为y=k(x-1)代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,利用线段AB的长为6,求出k,即可求l的方程.

解答 解:(1)设P(x,y),则$\overrightarrow{AP}$=(x+1,y),$\overrightarrow{FP}$=(x-1,y),$\overrightarrow{AF}$=(2,0),
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|,
∴2(x+1)=2$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$,
∴y2=4x;
(2)设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
直线l的方程为y=k(x-1)代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,(9分)
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$(10分)
∵AB=(x1-1)+(x2-1)=6,
∴$\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$=4(12分)
解得$k=±\sqrt{2}$,l的方程为$y=±\sqrt{2}({x-1})$(14分)

点评 本题考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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