对于定义域为D的函数f(x)同时满足条件:①常数a.b满足a＜b.区间[a.b]⊆D②使f(x)在[a.b]上的值域为[ka.kb].(k∈N*).那么我们把f(x)叫做[a.b]上的“k级矩形函数=x3[a.b]上的“1级矩形函数.求常数a.b的值,(2)是否存在常数a.b与正数k.使函数g(x)=$\frac{1}{x+2}$在区间[a.b]上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．对于定义域为D的函数f（x）同时满足条件：
①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D
②使f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，（k∈N^*），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“k级矩形”函数
（1）设函数f（x）=x³[a，b]上的“1级矩形”函数，求常数a，b的值；
（2）是否存在常数a，b与正数k，使函数g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在区间[a，b]上的是“k级矩形”函数？若存在，求出a，b及k的值，若不存在，说明理由
（3）设h（x）=-2x²-x是[a，b]上的“3级矩形”函数，求出常数a，b的值．

分析（1）函数f（x）=x³是[a，b]上的“1级矩阵”函数，结合函数的单调性建立方程关系即可．
（2）根据g（x）的单调性建立方程关系进行求解即可．
（3）结合一元二次函数的性质，讨论对称轴的位置建立方程关系即可．

解答解：（1）若函数f（x）=x³是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]
∵函数f（x）=x³是[a，b]上的单调增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{{b}^{3}=b}\end{array}\right.$，得a=-1，b=0或a=-1，b=1，或a=0，b=1．
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在区间[a，b]上的是“k级矩形”函数，
∵函数g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在区间[a，b]上的是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=kb}\\{g（b）=ka}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$，两式相除得$\frac{b+2}{a+2}=\frac{b}{a}$，即ab+2a=ab+2b，
得2a=2b，即a=b，与b＞a矛盾，故不存在常数a，b与正数k，使函数g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在区间[a，b]上的是“k级矩形”函数．
（3）若h（x）=-2x²-x是[a，b]上的“3级矩形”函数，
则满足函数h（x）=-2（x+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$在[a，b]上的值域为[3a，3b]，
①当a＜b≤-$\frac{1}{4}$时，h（x）在[a，b]上单调递增，值域为[h（a），h（b）]，即h（a）=3a，h（b）=3b，
即a，b是h（x）=3x的两个不等实根，即-2x²-x=3x，x²+2x=0，解得x=0或x=-2，
即a=-2，b=0不满足条件．
②当-$\frac{1}{4}$≤a＜b时，h（x）在[a，b]上单调递减，值域为[h（b），h（a）]，即h（a）=3b，h（b）=3a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=-2}\end{array}\right.$，方程组无解．
③当a＜-$\frac{1}{4}$＜b时，当x=-$\frac{1}{4}$时，函数的最大值为$\frac{1}{8}$，即3b=$\frac{1}{8}$，解得b=$\frac{1}{24}$，
h（$\frac{1}{24}$）=h（-$\frac{13}{24}$），
∴当a＜-$\frac{13}{24}$，h（a）=3a，解得a=-2，
综上a=-2，b=$\frac{1}{24}$．