Question

【题目】已知函数f（x）＝[x2﹣（a+4）x+3a+4]ex，

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）求证不等式（x3﹣6x2+10x）ex＞10（lnx+1）成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求导，讨论a与2的大小关系，解导不等式，得出结论；

（2）根据题意，当a＝2时，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，故原不等式可化为f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），求出f（x）和g（x）的值域，比较即可．

（1）f'（x）＝ex（x﹣a）（x﹣2），x∈R，

当a＜2时，当x∈（﹣∞，a]，（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（a，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

当a＞2时，当x∈（﹣∞，2]，（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（2，a）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

当a＝2时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增；

（2）当a＝2时，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，

故原不等式可化为f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），

由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故当x＞0时，f（x）＞f（0）＝10，

对于g（x）＝10（），g'（x），

当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减；

故g（x）的最大值为g（1）＝10，

故f（x）＞g（x）成立，

原命题得证.