题目内容
【题目】对于,若数列满足,则称这个数列为“K数列”.
(Ⅰ)已知数列:1,m+1,m2是“K数列”,求实数的取值范围;
(Ⅱ)是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”,且其前n项和满足
?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断数列是否为“K数列”,并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意得和,即可求解实数的取值范围;
(Ⅱ)设公差为,则,得对均成立,即,即可得到结论;
(Ⅲ)设数列的公比为,因为的每一项均为正整数,且,得到,且,得到“”和“”为最小项,又由又因为不是“K数列”, 且“”为最小项,得出,所以或,分类讨论即可得到结论.
试题解析:(Ⅰ)由题意得,
,②
解①得 ;
解②得 或
所以,故实数的取值范围是.
(Ⅱ)假设存在等差数列符合要求,设公差为,则,
由 ,得 ,
由题意,得对均成立,
即.
当时,;
当时,,
因为,
所以,与矛盾,
故这样的等差数列不存在.
(Ⅲ)设数列的公比为,则,
因为的每一项均为正整数,且,
所以,且.
因为,
所以在中,“”为最小项.
同理,在中,“”为最小项.
由为“K数列”,只需, 即 ,
又因为不是“K数列”, 且“”为最小项,所以, 即 ,
由数列的每一项均为正整数,可得 ,
所以或.
当时,, 则,
令,则,
又 ,
所以为递增数列,即 ,
所以.
因为,
所以对任意的,都有,
即数列为“K数列”.
当时,,则.因为,
所以数列不是“K数列”.
综上:当时,数列为“K数列”,
当时,数列不是“K数列” .
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