题目内容
【题目】如图,已知椭圆的左、右顶点为
,
,上、下顶点为
,
,记四边形
的内切圆为
.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知圆的一条不与坐标轴平行的切线
交椭圆
于P,M两点.
(i)求证:;
(ii)试探究是否为定值.
【答案】(1);(2)(i)详见解析;(ii)是定值
.
【解析】
(1)由已知可得:直线的方程为:
,利用四边形
的内切圆为
可求得内切圆的半径
,问题得解。
(2)(i)设切线,联立直线方程与椭圆方程可得:
,即可求得
,所以
,问题得证。
(ii)①当直线的斜率不存在时,
,②当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为:
,联立直线方程与椭圆方程可得:
,即可求得:
,同理可得:
,问题得解。
(1)因为,
分别为椭圆
的右顶点和上顶点,则
,
坐标分别为
,可得直线
的方程为:
则原点O到直线的距离为
,则圆
的半径
,
故圆的标准方程为
.
(2)(i)可设切线,
将直线的方程代入椭圆
可得
,由韦达定理得:
则
,
又与圆
相切,可知原点O到
的距离
,整理得
,
则,所以
,故
.
(ii)由知
,
①当直线的斜率不存在时,显然
,此时
;
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为:
代入椭圆方程可得,则
,
故,
同理,
则.
综上可知:为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |