Question

【题目】等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求证：数列中的项都在数列中；

（3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面：当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）当时，；当时，；当时，.

【解析】

（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列的通项公式与前n项和；根据等比中项定义，结合数列的前n项和，代入化简可求得数列的通项公式；

（2）根据数列，的通项公式，即可证明数列中的项都在数列中；

（3）由数列的通项公式，代入由裂项求和法可得的前n项和，再对分类讨论，即可确定新数列的前和的表达式.

（1）为等差数列，设公差为，

，，

所以，解得，

所以由等差数列通项公式可得；

等差数列的前项和为，

所以，

当时，，且，，成等比数列，.

所以，

则，即，

化简可得，当时也成立，

所以.

（2）证明：由（1）可知，，

则，

所以数列中的项都在数列中；

（3）由（1）可知，

则，

所以数列的前n项和为，

当时，，

当（）时，，经检验当时也成立，

当时，，

综上所述，当时，；

当时，；

当时，.