题目内容
【题目】已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在点
使得
为定值.
【解析】
试题（1）椭圆的标准方程是
，则本题中有
，已知三角形的面积为4，说明
，这样可以求得
；（2）存在性命题的解法都是假设存在，然后想办法求出
.下面就是想法列出关于的方程，本题是直线与椭圆相交问题，一般方法是设交点为
，把直线方程
代入椭圆方程交化简为
，则有
，
，而
，就可用
表示，这个值为定值，即与
无关，分析此式可得出结论．．
试题解析：（1）设椭圆的短半轴为
，半焦距为
，
则，由
得
，
由
解得
,则椭圆方程为. （6分）
（2）由
得
设
由韦达定理得：
=
=
=
， （10分）
当
，即
时，
为定值，所以，存在点使得为定值（14分）．
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相关题目
【题目】某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了
位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款（单位：元） |
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顾客人数 |
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统计结果显示
位顾客中购物款不低于
元的顾客占
，该商场每日大约有
名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于
元的顾客发放纪念品.
（Ⅰ）试确定
， 
的值，并估计每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）现有
人前去该商场购物，求获得纪念品的数量
的分布列与数学期望.