题目内容
【题目】设函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设,记
,当
时,若方程
有两个不相等的实根
,
,证明
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)求解函数的导函数,分类讨论可得:
①若时,当
时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增;
②若时,函数
单调递增;
③若时,当
时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增.
(2)构造新函数
,结合新函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析:
(1)由,可知
.
因为函数的定义域为
,所以,
①若时,当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增;
②若时,当
在
内恒成立,函数
单调递增;
③若时,当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增.
(2)证明:由题可知
,
所以
.
所以当时,
;当
时,
;当
时,
.
欲证,只需证
,又
,即
单调递增,故只需证明
.
设,
是方程
的两个不相等的实根,不妨设为
,
则
两式相减并整理得
,
从而,
故只需证明,
即.
因为,
所以(*)式可化为,
即.
因为,所以
,
不妨令,所以得到
,
.
记,
,所以
,当且仅当
时,等号成立,因此
在
单调递增.
又,
因此,
,
故,
得证,
从而得证.
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