题目内容
【题目】如图,在半径为 ,圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点N,M在OB上,设矩形PNMQ的面积为y,∠POB=θ.
(1)将y表示成θ的函数关系式,并写出定义域;
(2)求矩形PNMQ的面积取得最大值时
的值;
(3)求矩形PNMQ的面积y≥ 的概率.
【答案】
(1)解:在Rt△PON中,∠PNO=90°,∠POB=θ, ,
所以 ,
,
在Rt△QMO中,∠QMO=90°,∠QON=60°,QM=PN=
所以OM=
所以:MN=ON﹣OM=
所以y=
即:y=3sinθcosθ﹣ sin2θ,(
)
(2)解:由(1)得y=3sinθcosθ﹣ sin2θ=
﹣
= )﹣
=
∵θ∈(0, )
∴
∴sin( )∈
∴ ,即
时,y的最大值为
.
此时ON= cos
=
=
,则
=|
||
|cos
=
×
=
.
(3)解:若矩形PNMQ的面积y≥ ,
则 ≥
,
即 sin(
)≥
,
则sin( )≥
,
∵
∴ ≤
≤
,
即 ≤θ≤
,
则对应的概率P= =
【解析】(1)利用三角函数的关系,求出矩形的邻边,求出面积的表达式,化为一个角的一个三角函数的形式,根据θ的范围确定函数的定义域.(2)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简,结合三角函数的最值性质求出矩形面积的最大值.以及利用向量数量积的定义进行求解即可.(3)根据几何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面积y≥ 时,对应的角θ的取值范围,即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了几何概型的相关知识点,需要掌握几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等才能正确解答此题.
