题目内容
【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)若有两个不同的极值点
,且
,若不等式
恒成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求导得,再转化为
与
的图像在
上有两个不同的交点,再分析
的函数单调性与最值,进而数形结合求解即可.
(Ⅱ)设是
的两个根,代入相减可得
,再对
两边取对数,化简即证
,再构造
,分析函数的单调性证明最值,从而求得取值范围即可.
(Ⅰ)由题意, 有两个不同的根,
故方程在
上有两个不同的根,转化为函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点.
,故
时,
.
时,
,
故在
上单调递增,在
上单调递减.
所以
又,故
时,
,
时,
由图象可得:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:设是
的两个根,
故,
,相减可得
.
故
,又
,故上式即为
令,则
对
恒成立.
设,则
,
①若,当
时,
,
时,
故在
上单调递减,故当
时
,不合题意;
②若,则
,故
在
上单调递增.
故时,
,即
恒成立.
综上:
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练习册系列答案
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