题目内容
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求证:平面BDGH//平面AEF;
(Ⅲ)求多面体ABCDEF的体积.
(Ⅰ)答案详见解析;(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)∵平面平面,且,由面面垂直的性质定理知平面,该题还可以利用线面垂直的判定定理证明,先证平面,得,又,进而证明平面;(Ⅱ)要证明面面平行,需寻求两个线面平行关系,由,得平面;设,连接,则,从而平面,进而证明平面平面;(Ⅲ)对于不规则几何体的体积问题,可以采取割补的办法,将之转化为规则的几何体来求,所求几何体的体积等于.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为四边形是正方形,所以.
又因为平面平面,平面平面,且平面,
所以平面.
(Ⅱ)证明:在中,因为分别是的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面.设,连接,在中,因为,,所以,又因为平面,平面,所以平面.
又因为,平面,所以平面平面.
(Ⅲ)解:由(Ⅰ),得平面,,四边形的面积,
所以四棱锥的体积.同理,四棱锥的体积.
所以多面体的体积
考点:1、直线和平面垂直的判定;2、面面平行的判定;3、几何体的体积.
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