题目内容
【题目】已知
，
，
，
，
，
，记动点
的轨迹为
.
(1)求曲线的轨迹方程.
(2)若斜率为
的直线
与曲线交于不同的两点
、
，与
轴相交于
点，则
是否为定值？若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)答案见解析.
【解析】分析：(1)根据向量几何意义得
点为线段
的垂直平分线与直线
的交点，即得
，再根据椭圆定义得曲线
的轨迹方程. (2) 设
，
，
，化简
得
，再联立侄媳妇与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得定值.
详解：
（1）由
可知，
为线段的中点.由
可知，点在直线上. 由
可知，
.所以点为线段的垂直平分线与直线的交点，所以
，所以，所以动点的轨迹为以
、
为焦点，长轴长为
的椭圆，即
，
，所以
.所以曲线的轨迹方程为.
（2）设，，，则直线
的方程为
，将代入得
.
∴ 
，所以
.
则
，
.
所以
故是定值3.
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