Question

18．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．左，右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2．点M是椭圆C上一点，满足∠F₁MF₂=60°，且${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）过点P（0，1）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜律分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=2，求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，利用余弦定理，结合三角形的面积公式，可求a，结合c，可求b，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k₁+k₂=4，可得m=k-2，即可证明直线AB过定点，利用△≥0，求出直线AB的斜率k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则
∵∠F₁MF₂=60°，且${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴4=m²+n²-mn，$\frac{1}{2}$mn•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴m+n=2$\sqrt{2}$，
∴2a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∵c=1，
∴b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$（5分）
（Ⅱ）当直线AB存在斜率时，设其方程为y=kx+m（m≠0），又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$并整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，且${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，∵k₁+k₂=2，∴$\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=2$，∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，∴$\frac{{k{x_1}+m-1}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+m-1}}{x_2}=2$，即$2k+（m-1）•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{x_1^{\;}{x_2}}}=2$，可得m=k-1，
所以直线AB方程为：y=k（x+1）-1，显然直线AB恒过定点（-1，-1）
当直线AB过定点（-1，-1）且垂直x轴时，也满足k₁+k₂=2．
综上，直线AB过定点（-1，-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．