题目内容
9.已知数列{an}的通项为an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的n叫做“优数”,则在(0,2015]内的所有“优数”的和为( )A. | 1024 | B. | 2012 | C. | 2026 | D. | 2036 |
分析 由题意可得,a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2)=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg(n+2)}{lg(n+1)}$=log2(n+2),若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k,在(1,2015]内的所有整数可求,进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求.
解答 解:∵an=logn+1(n+2)
∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2)
=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg(n+2)}{lg(n+1)}$
=$\frac{lg(n+2)}{lg2}$=log2(n+2),
若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k
在(1,2015]内的所有整数分别为:22-2,23-2,…,210-2
∴所求的数的和为22-2+23-2+…+210-2=$\frac{4(1-{2}^{9})}{1-2}$-2×9=2026
故选:C.
点评 本题以新定义“优数”为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用,属于中档试题.
练习册系列答案
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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A. | (-1,0) | B. | (1,+∞) | C. | (-1,0)∪(1,+∞) | D. | (-1,1) |