Question

（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.

Answer 1

解：(Ⅰ) f ′ (x)=ae^x, f ′ (0)=a, g ′ (x)=-，g ′ (0)=-1，……………………2分

    由已知a_·(-1)=-1，∴ a=1，

∴ f(x)=e^x(x ÎR)，g (x)=-ln(x+1)，(x>-1). ………………………………4分

    (Ⅱ) 证明：令F(x)=f(x)+g(x)-2x =e^x-ln(x+1)-2x，(x³1)，

则F ′ (x)= e^x--2³ F ′ (1)= e->0，∴F(x)在上递增，………………6分

  n ÎN^*Ü，∴F(n) ³ F (1)>0，即       f(n)+g(n)>2n. ……………………………8分

(Ⅲ) 答：不存在。

设P(x₁，y₁)，P(x₂，y₂)，（0<x₁<x₂）则M、N的横坐标都是，

且-lnx₁=-x₁²+ax₁，-lnx₂=-x₂²+ax₂，

f ¢ (x-1)=， h¢ (x)=- 2x+a，

C₁在M处的切线斜率为k_M=，C₂在N处的切线斜率为k_N =-( x₁+ x₂)+a，

令k_M =k_N，得=-( x₁+ x₂)+a，  …………………………………………10分

，

∴，令 t=>1，得=0，……①………12分

设p(t)= (t>1) ，    p ′(t)=，

     ∴ p(t)=在区间(1，+∞)递增，∴p(t)> p(1)=0，与①矛盾，

     ∴不存在a，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行.……………………14分