题目内容
【题目】函数f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若m，n∈R+ ， 
，求证：n+2m﹣f（x）＞0恒成立．
【答案】
（1）
解：由f（x）＜0得f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|＜0，即|x+1|＜|x﹣2|，
平方得x2+2x+1＜x2﹣4x+4，即6x＜3，
得x＜ 
，即不等式的解集为（﹣∞， ）．
（2）
解：∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（ 
+ 
）=4+1+ 
+ 
≥5+2 
=5+4=9，
∴n+2m≥9﹣2=7，当且仅当+ = ，即n+1=2（2m+1）时取等号，
∴n+2m的最小值为7，
∵f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，
∴f（x）的最大值为3，
则n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m﹣f（x）＞0恒成立．
【解析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据基本不等式的性质，利用1的代换，先求出n+2m的最小值，利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最大值，进行比较即可．
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：
,（当且仅当
时取到等号）；变形公式：
．
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