Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{14}$，且sinC=3sin2A+sin（A-B），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，由sinA≠0，可求tanC=$\sqrt{3}$，结合范围0＜C＜π，即可求得C的值．
（2）由已知可得2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA≠0时，解得b=3a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解，当cosA=0时，可求A=90°，求得b=ctan30°的值，即可解得三角形面积．

解答 解：（1）∵csinA=$\sqrt{3}$acosC．由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵sinA≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵sinC=sin（π-A-B）=3sin2A+sin（A-B），
∴2cosAsinB=6sinAcosA，
当cosA≠0时，sinB=3sinA，∴b=3a，
${c}^{2}=14={a}^{2}+{b}^{2}-2ab•\frac{1}{2}=7{a}^{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$3\sqrt{2}$，S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
当cosA=0时，A=90°，b=ctan30°=$\frac{\sqrt{42}}{3}$，S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$…12分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．