Question

7．求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$的值域．

Answer 1

分析 可设y=f（x），从而有y=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$，可将该式整理成关于x的方程的形式：（y-1）x²-4x+3y-3=0，该方程有解．这样可讨论y=1和y≠1：y=1时容易判断符合条件，而y≠1时，便有△≥0，这样解不等式即可得出y的范围，即函数f（x）的值域．

解答 解：设y=f（x），则y=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$；
∴yx²+3y=x²+4x+3；
∴（y-1）x²-4x+3y-3=0，可看成关于x的方程，方程有解；
∴①若y=1，x=0，即满足方程有解；
②若y≠1，上面方程为一元二次方程，则：
△=16-4（y-1）（3y-3）≥0；
解得$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤y≤1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴综上得原函数的值域为[$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}，1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 考查函数值域的概念，形容$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数的值域的求法：整理成关于x的方程，根据方程有解求，以及一元二次方程有解时判别式△取值情况，不要漏了讨论方程中二次项系数为0的情况．