Question

【题目】设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），

当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，

∴g（x）在（﹣1，1）递减，

而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），

∴g（x）在R是奇函数，

∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，

即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，

g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，

如图示：，

x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，

x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，

综上：x∈（﹣2，2），

故选：A.