题目内容
已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
(本题满分15分)
(1)由抛物线的焦点F(0,1)可得p=2
故所求的抛物线的方程为x2=4y…(3分)
(2)由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=
x1.
∴切线方程为y-y1=
x1(x-x1).
∵准线方程为y=-1.
在切线方程中,令y=-1…(5分)
可得s=
-
.…(7分)
又s在[1,4]单调递增
∴s的取值范围是-
≤s≤
.…(10分)
(3)猜测直线PQ恒过点F(0,1)…(11分)
由题得P(x1,
),Q(x2,
),x1≠x2
要证点P、F、Q三点共线,只需证kPF=kQF,即证x1x2=-4…(13分)
由(2)知s=
-
,同理得s=
-
,故
-
=
-
∴
=
-
=
∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=
=
,KQF=
=
=
=
=KPF
从而可知点P、F、Q三点共线,即直线PQ恒过点F(0,1)…(15分)
(1)由抛物线的焦点F(0,1)可得p=2
故所求的抛物线的方程为x2=4y…(3分)
(2)由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=
1 |
2 |
∴切线方程为y-y1=
1 |
2 |
∵准线方程为y=-1.
在切线方程中,令y=-1…(5分)
可得s=
x1 |
2 |
2 |
x1 |
又s在[1,4]单调递增
∴s的取值范围是-
3 |
2 |
3 |
2 |
(3)猜测直线PQ恒过点F(0,1)…(11分)
由题得P(x1,
| ||
4 |
| ||
4 |
要证点P、F、Q三点共线,只需证kPF=kQF,即证x1x2=-4…(13分)
由(2)知s=
x1 |
2 |
2 |
x1 |
x2 |
2 |
2 |
x2 |
x1 |
2 |
2 |
x1 |
x2 |
2 |
2 |
x2 |
∴
x1-x2 |
2 |
2 |
x1 |
2 |
x2 |
2(x2-x1) |
x1x2 |
∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=
| ||
x1 |
x12-1 |
4x1 |
x22-1 |
4x2 |
(-
| ||
4(-
|
1-x12 |
-4x1 |
x12-1 |
4x1 |
从而可知点P、F、Q三点共线,即直线PQ恒过点F(0,1)…(15分)
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