题目内容

已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
(本题满分15分)
(1)由抛物线的焦点F(0,1)可得p=2
故所求的抛物线的方程为x2=4y…(3分)
(2)由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=
1
2
x1

∴切线方程为y-y1=
1
2
x1(x-x1)

∵准线方程为y=-1.
在切线方程中,令y=-1…(5分)
可得s=
x1
2
-
2
x1
.…(7分)
又s在[1,4]单调递增
∴s的取值范围是-
3
2
≤s≤
3
2
.…(10分)
(3)猜测直线PQ恒过点F(0,1)…(11分)
由题得P(x1
x21
4
),Q(x2
x22
4
)
,x1≠x2
要证点P、F、Q三点共线,只需证kPF=kQF,即证x1x2=-4…(13分)
由(2)知s=
x1
2
-
2
x1
,同理得s=
x2
2
-
2
x2
,故
x1
2
-
2
x1
=
x2
2
-
2
x2

x1-x2
2
=
2
x1
-
2
x2
=
2(x2-x1)
x1x2

∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=
x12-1
4
x1
=
x12-1
4x1
KQF=
x22-1
4x2
=
(-
1
x1
)
2
-1
4(-
1
x1
)
=
1-x12
-4x1
=
x12-1
4x1
=KPF
从而可知点P、F、Q三点共线,即直线PQ恒过点F(0,1)…(15分)
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