题目内容

19.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$(t为参数)与曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$(θ为参数,b>0)有一个公共点在y轴,则b=3.

分析 曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$(t为参数),消去参数化为:2x+y-3=0.由曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$(θ为参数,b>0),利用cos2θ+sin2θ=1化为直角坐标方程.直线与曲线C2有一个公共点在y轴,公共点为(0,3).代入曲线C2方程即可得出.

解答 解:曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$(t为参数),消去参数化为:2x+y-3=0.
曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$(θ为参数,b>0),化为:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.
∵直线与曲线C2有一个公共点在y轴,
∴公共点为(0,3).
代入曲线C2方程可得:b2=9,b>0,解得b=3.
故答案为:3.

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、曲线的交点问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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