Question

14．已知函数f（x）=$\frac{t+sinx}{t+cosx}$（|t|＞1）的最大值和最小值分别是M，m，则M•m为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 把f（x）看成动点P（cosθ，sinθ）与点Q（-t，-t）连线的斜率k．点P在单位圆上运动，点Q在直线y=x上，|t|＞1，点Q在单位圆外，当直线PQ与单位圆相切时，k取得最大值和最小值，
问题得以解决．

解答 解：把f（x）看成动点P（cosθ，sinθ）与点Q（-t，-t）连线的斜率k．
点P在单位圆上运动，点Q在直线y=x上，|t|＞1，点Q在单位圆外，
当直线PQ与单位圆相切时，k取得最大值和最小值，
设PQ：y+t=k（x+t），
它到原点的距离为1，得
|kt-t|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$
∴（t²-1）k²-2t²k+t²-1=0，
∴M，m，是方程的两个根，根据根与系数的关系，得M•m=1，
故选：A．

点评 本题考查了函数的最值问题，转化为斜率问题是关键，属于中档题．