题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,为线段的中点.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)若在段上,且直线与平面相交,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
以为坐标原点,建立空间直角坐标系:
(Ⅰ)求得直线的方向向量和平面的法向量,通过向量的夹角求得线面角的夹角;
(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法求二面角的大小;
(Ⅲ)设出点坐标,根据的方向向量和法向量不垂直,即可求得范围.
(Ⅰ) 因为,
所以;
又因为,,
所以,
因此.
以为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,
,,.
所以,,.
设平面的法向量,
由得:
令,则
设直线与平面所成角为,
则有=
所以
即:直线与平面所成角的余弦值为.
(Ⅱ)同理可得:平面的法向量,
则有
因为二面角的平面角为钝角,
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)设,
由得:.
则,
又因为直线与平面相交,
所以.
即: , 解得:
所以的取值范围是.
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