题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,为线段的中点.

(Ⅰ)求直线与平面所成角的余弦值;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)若在段上,且直线与平面相交,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

为坐标原点,建立空间直角坐标系:

(Ⅰ)求得直线的方向向量和平面的法向量,通过向量的夹角求得线面角的夹角;

(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法求二面角的大小;

(Ⅲ)设出点坐标,根据的方向向量和法向量不垂直,即可求得范围.

(Ⅰ) 因为

所以

又因为

所以

因此.

为原点建立空间直角坐标系,如图所示.

.

所以.

设平面的法向量

得:

,则

设直线与平面所成角为

则有=

所以

即:直线与平面所成角的余弦值为.

(Ⅱ)同理可得:平面的法向量

则有

因为二面角的平面角为钝角,

所以二面角的大小为.

(Ⅲ)设

得:.

又因为直线与平面相交,

所以.

: , 解得:

所以的取值范围是.

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