Question

【题目】已知函数 ．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）当时，求函数在区间上的最大值；

（3）对任意，恒有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为 ， （2）函数取得最大值 （3）

【解析】

（1）将代入函数,去掉绝对值得到分段函数,然后分别求导,利用导数求函数的单调区间.

（2）,则,对函数求导,判断单调性,根据单调性即可得出函数在区间上的最大值.

（3）由（1）（2）得,，分情况讨论、时函数的单调性，从而得出实数的取值范围．

（1）当时, ,

若时,则,令,解得；

若时,则恒成立,所以,

所以函数的单调递增区间为 ，．

（2）若,当时, ,．

令,解得或．

列表如下：

当时,函数取得最大值．

（3）由（1）（2）得,．

①当时,即时,

,即．

因为在上单调递增,

所以当时, 取得最小值,

所以,解得,又,所以．

②当即时,

当时,,即,

与矛盾,

所以,实数的取值范围为．