Question

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是（-∞，

5

2

）．
其中真命题的序号是

②④

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据含有量词命题的否定法则，得到①是错误的；根据线性相关系数的定义，得到②是正确的；根据直角坐标系中，点（a，b）对应的图形的面积，利用几何概率模型公式得到③是错误的；根据对数的运算法则，结合讨论二次函数在区间[2，+∞）的最小值，得到④正确．

解答：解：对于①，命题“?x∈R，x²≥0”是一个全称命题，
它的否定应该是先改量词为存在，再否定结论，
故它的否定应该是：“?x∈R，x²＜0”，故①错误；
对于②，根据线性相关系数r的定义，两个随机变量的线性相关系数r的绝对值越接近于1，
说明它们的相关程度就越大，相关性就越强．
而r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．因此②正确；
对于③，若a，b∈[0，1]，则点M（a，b）落在区域是边长为1的正方形内，
不等式a²+b²＜

1

4

相对应的区域是以原点为圆心，半径为

1

2

的圆在第一象限内的扇形，
本题转化为向正方形内随机投一个点，它能落在扇形内的概率，
所以不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率等于P=

1 4 π•( 1 2 )2

1×1

=

π

16

，故③错误；
对于④，函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，即
x²-ax+2＞1在[2，+∞）上恒成立，故x²-ax+1＞0
记F（x）=x²-ax+1，
（1）当a≥4时，F（x）在区间（2，

a

2

）上是减函数，
在区间（

a

2

，+∞）上是增函数，
故最小值为F（

a

2

）=1-

1

4

a²＞0，可得a∈Φ；
（2）当a＜4时，F（x）在[2，+∞）上为增函数，
故最小值为F（2）=5-2a＞0，可得a∈（-∞，

5

2

），
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，

5

2

），故④正确．
故答案为②④

点评：本题借助于命题真假的判断为载体，着重考查了几何概型、函数的最值和不等式恒成立等知识点，属于中档题．