Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=my+2与椭圆C交于A、B两点，E（-$\frac{2}{m}$，$\frac{m-2}{m}$），设△AEB的面积为S，若0＜S≤1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率得到a²=2b²，再根据椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切求得b，则椭圆方程可求；
（2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求得|AB|，再求出E到直线AB的距离为d，代入三角形面积后由0＜S≤1求得m的取值范围．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，即a²=2b²，
又∵b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴椭圆方程为：$\frac{x2}{2}$+y²=1；
（2）将直线的方程x=my+2代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1得：（2+m²）x²-8x+8-2m²=0，
∴△=64-8（2+m²）（4-m²）=8m²（m²-2）＞0，即m²＞2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8}{2+{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}•\sqrt{（\frac{8}{2+{m}^{2}}）^{2}-4•\frac{8-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}}$

=$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{|m|}•\frac{2\sqrt{2}|m|\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$，
设E到直线AB的距离为d，则d=$\frac{|-\frac{2}{m}-m•\frac{m-2}{m}-2|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=\frac{2+{m}^{2}}{|m|•\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}•\frac{2+{m}^{2}}{|m|•\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{{m}^{2}-2}}{|m|}$．
由题意：0＜$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{{m}^{2}-2}}{|m|}$≤1，解得：2＜m²≤4
∴m 的取值范围是[-2，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，2]

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．