Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?_n∈N⁺恒成立，则整数λ的最大值为4．

Answer 1

分析 由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，求出通项后代入不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，整理后得到5-λ$＞\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．然后根据数列${b}_{n}=\frac{2n-3}{{2}^{n}}$的单调性求得最值得答案．

解答 解：当n=1时，${S}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，得a₁=4；
当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n}-{2}^{n}$，两式相减得${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，得${a}_{n}=2{a}_{n-1}+{2}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=1$．
又$\frac{{a}_{1}}{2}=2$，∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=n+1$，即${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}$．
∵a_n＞0，∴不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，等价于5-λ$＞\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
记${b}_{n}=\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}}{\frac{2n-3}{{2}^{n}}}=\frac{2n-1}{4n-6}$．
∴n≥3时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}＜1$，$（{b}_{n}）_{max}={b}_{3}=\frac{3}{8}$．
∴5-λ$＞\frac{3}{8}$，即$λ＜5-\frac{3}{8}=\frac{37}{8}$，
∴整数λ的最大值为4．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题．