题目内容

17.是否存在锐角α和β,使α+2β=$\frac{2π}{3}$①,且tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②,同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由.

分析 假设存在两个锐角α和β,使得两个条件:α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同时成立,求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$,解得α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 满足条件,从而得出结论.

解答 解:假设存在两个锐角α和β,使得两个条件:α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同时成立;
可得tan($\frac{α}{2}$+β)=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$,∴tan$\frac{α}{2}$+tanβ=tan($\frac{α}{2}$+β)•(1-tan$\frac{α}{2}$tanβ)=$\sqrt{3}$[1-(2-$\sqrt{3}$)]=3-$\sqrt{3}$,
即 tan$\frac{α}{2}$+tanβ=3-$\sqrt{3}$ ③.
由②③求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$.
对于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$,由于不存在锐角α,使tan$\frac{α}{2}$=1,故此方程组无解.
对于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$,可得$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{12}$,β=$\frac{π}{4}$,故存在α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 满足条件.

点评 本题给出α、β满足的条件,探求α、β能否为锐角.着重考查了两角和与差的正切公式、方程组的解法、特殊角的三角函数值等知识,属于中档题.

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